Question

【題目】已知a≥2,不等式logax+loga[(a+1)ak-1-x]≥2k-1的解集為A,其中a∈N*,k∈N.

(1)求A.

(2)設f(k)表示A中自然數個數,求和Sn=f(1)+f(2)+…+f(n).

(3)當a=2時,比較Sn與n2+n的大小,并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】分析：(1)利用對數函數的單調性，轉化為不等式組，解之即可;

(2)由（1）明確f(k)表示A中自然數個數，累加求和即可；

（3）先用特例猜想二者大小，然后用數學歸納法證明.

詳解：(1)不等式同解于

，

由③,得x2-(a+1)ak-1x+a2k-1≤0.

∵a≥2,∴ak-1<ak.

∴ak-1≤x≤ak,且該式滿足①,②.

∴A={x|ak-1≤x≤ak}.

(2)由題意知f(k)=ak-ak-1+1,Sn=(a-a0+1)+(a2-a+1)+…+(an-an-1+1)=an+n-1.

(3)當a=2時,Sn=2n+n-1,Sn-(n2+n)=2n-n2-1.

當n=1時,S1=12+1;

當n=2時,S2<22+2;

當n=3時,S3<32+3;

當n=4時,S4<42+4;

當n=5時,S5>52+5.

猜想當n≥5(n∈N)時,Sn>n2+n.

下面用數學歸納法證明:

①當n=5時,已驗證.

②假設當n=k(k≥5)時,Sk>k2+k成立,即2k>k2+1成立,則當n=k+1時,Sk+1-[(k+1)2+(k+1)]=2k+1-(k+1)2-1=2×2k-k2-2k-2>2(k2+1)-k2-2k-2=k2-2k=k(k-2)>0,即Sk+1>[(k+1)2+(k+1)],∴當n=k+1時結論成立.

根據①②可知,對任何n≥5(n∈N*),都有Sn>n2+n成立.

綜上所述,當n=1時,Sn=n2+n;當n=2,3,4時,Sn<n2+n;當n≥5(n∈N*)時,Sn>n2+n.