Question

【題目】已知函數，，對任意的，恒有成立.

（1）如果為奇函數，求滿足的條件.

（2）在(1)中條件下，若在上為增函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

（1）根據函數奇偶性的定義得恒成立，代入化簡得，結合恒成立得到值，由一元二次不等式恒成立結合可得的取值范圍；（2）根據單調性的定義和性質得恒成立，建立不等式關系在上恒成立即可得到結論．

（1）設的定義域為，

因為為奇函數，所以對任意，成立，

即，化簡得，

因對于任意都成立，則.

因為對任意的，恒有成立，

所以對任意的，恒有，

即對任意的恒成立。

由，得

于是滿足的條件為，.

（2）當時，。

因為在上為增函數，

所以任取，且，

恒成立，

也就是恒成立，所以，

結合（1），得實數的取值范圍是。