【題目】已知函數
.
（1）若
有三個極值點
，求
的取值范圍；
（2）若
對任意
都恒成立的
的最大值為
，證明： 
.
【答案】(1) 
的取值范圍為
；(2)見解析.
【解析】試題分析：（1）若
有三個極值點
，只需
應有兩個既不等于0也不等于
的根；（2）
恒成立即
.變量分離，轉化為函數最值問題.
（1）
，定義域為
，
，∵
，
只需
應有兩個既不等于0也不等于
的根， 
，
①當
時， 
，∴
單增， 
最多只有一個實根，不滿足；
②當
時， 
，
當
時， 
， 
單減；當
時， 
， 
單增；
∴
是
的極小值，
而
時， 
， 
時， 
，
要
有兩根，只需
，由
，又由
，
反之，若
且
時，則
， 
的兩根中，一個大于
，另一個小于
.
在定義域中，連同
， 
共有三個相異實根，且在三根的左右， 
正負異號，它們是
的三個極值點.
綜上， 
的取值范圍為
.
（2）
對
恒成立，
①當
或1時， 
均滿足；
②
對
恒成立
對
恒成立，
記
， 
， 
， 
，
欲證
，
而
，
只需證明
，顯然成立.
下證： 
， 
， 
， 
，
先證： 
， 
，
， 
.
令
， 
，
， 
， 
，∴
在
上單增，
∴
，∴
在
上單增，∴
，∴
在
上單增，
∴
，即證.
要證： 
， 
.
只需證
， 
， 
而
，開口向上，上不等式恒成立，從而得證命題成立.
閱讀快車系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】函數f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜ 
）的最高點D的坐標（ 
，2），由D點運動到相鄰最低點時函數曲線與x軸的交點（ 
，0）
（1）求f（x）的解析式
（2）求f（x）的單調增區間．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，以（﹣2，0）為圓心且與直線mx+2y﹣2m﹣6=0（m∈R）相切的所有圓中，面積最大的圓的標準方程是（ ）
A.（x+2）2+y2=16
B.（x+2）2+y2=20
C.（x+2）2+y2=25
D.（x+2）2+y2=36
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面四個命題： ①若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面；
②若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交；
③若a∥b，則a，b與c所成的角相等；
④若a⊥b，b⊥c，則a∥c．
其中真命題的個數為（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校100名學生期中考試數學成績的頻率分布直方圖如圖，其中成績分組區間如下：
組號 | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） | [90，100] |
（Ⅰ）求圖中a的值；
（Ⅱ）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生期中考試數學成績的平均分；
（Ⅲ）現用分層抽樣的方法從第3、4、5組中隨機抽取6名學生，將該樣本看成一個總體，從中隨機抽取2名，求其中恰有1人的分數不低于90分的概率？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PD= 
，O為AC與BD的交點，E為棱PB上一點． （Ⅰ）證明：平面EAC⊥平面PBD；
（Ⅱ）若PD∥平面EAC，求三棱錐P﹣EAD的體積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知關于x的不等ax2﹣3x+2＞0的解集{x|x＜1或x＞b}
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）解關于x的不等式：ax2﹣（ac+b）x+bx＜0．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區間是：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]． 
（1）求圖中a的值；
（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；
（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數（x）與數學成績相應分數段的人數（y）之比如表所示，求數學成績在[50，90）之外的人數．
分數段 | [50，60） | [60，70） | [70，80） | [80，90） |
x：y | 1：1 | 2：1 | 3：4 | 4：5 |
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