Question

．（本小題滿分12分）對于函數，若，則稱為的“不動點”，若，則稱為的“穩定點”.函數的“不動點”和“穩定點”的集合分別記為和，即，.
（1）求證：；
（2）若，且，求實數的取值范圍；
（3）若是上的單調遞增函數，是函數的穩定點，問是函數的不動點嗎？若是，請證明你的結論；若不是，請說明的理由.

Answer 1

解：（1）若，則顯然成立；若，設，
則，，故.    …………3分
（2）有實根，.又，所以，
即的左邊有因式，
從而有.        …………5分
，要么沒有實根，要么實根是方程的根.若沒有實根，
則；若有實根且實根是方程的根，
則由方程，得，
代入，有.由此解得，再代入得，由此，
故a的取值范圍是.         …………8分
（3）由題意：是函數的穩定點則，設，
是上的單調增函數，則，
所以，矛盾.
若，是上的單調增函數，則，
所以，矛盾，故，
所以是函數的不動點.        …………12分

略