Question

已知函數f（x）=lnx+ax．
（I）若對一切x＞0，f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；
（II）在函數f（x）的圖象上取定兩點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x）₂）（x₁＜x₂），記直線AB的斜率為k，證明：存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）=k成立．

Answer 1

【答案】分析：（I）對一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即對一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，分離參數，求出函數的最值，即可求得結論；
（II）要證明存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）=k成立，只要證明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）內有解即可．
解答：（I）解：對一切x＞0，f（x）≤1恒成立，即對一切x＞0，lnx+ax≤1恒成立，∴a≤
令g（x）=，則
令g′（x）＜0，可得0＜x＜e²；令g′（x）＞0，可得x＞e²，
∴x=e²時，g（x）取得最小值g（e²）=-
∴a≤-；
（II）證明：由題意，k==
要證明存在x∈（x₁，x₂），使f′（x）=k成立，只要證明f′（x）-k=0在（x₁，x₂）內有解即可
令h（x）=f′（x）-k=-，只要證明h（x）在（x₁，x₂）內存在零點即可
∵h（x）在（x₁，x₂）內是減函數，只要證明h（x₁）＞0，h（x₂）＜0
即證＞0，＞0
令F（t）=t-1-lnt（t＞0），∵F′（t）=1-，∴函數在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增
∴函數在t=1時，取得最小值0，∴F（t）≥0
∵＞0且；＞0且≠1
∴＞0，＞0
∴結論成立．
點評：本題考查導數知識的運用，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．