Question

如圖所示，F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，M為橢圓上一點，MF₂垂直于x軸，且OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過F₂有與OM垂直的直線交橢圓于P、Q兩點，若，求橢圓的方程．

Answer 1

解：（1）∵M為橢圓上一點，MF2垂直于x軸，
∴M（c，）
∵OM與橢圓長軸和短軸端點的連線AB平行，
∴
∴b=c
∴e==
（2）由（1）得，b=c聯立方程組，
消元可得5y²﹣cy﹣2c²=0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則y₁+y₂=，y₁y₂=﹣
∴|y1﹣y2|=
∴
∴c²=b²=25，a²=50
∴橢圓的方程為