Question

已知f(x)=alnx+

1

2

x2(a＞0)，若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)m，n都有

f(m)-f(n)

m-n

＞3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

a≥

9

4

．

Answer 1

分析：由題意易得f′（x）＞3恒成立，求導(dǎo)數(shù)，分離a，只需求x（3-x）的最小值即可．

解答：解：因?yàn)閷?duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)m，n都有

f(m)-f(n)

m-n

＞3恒成立，
所以函數(shù)f（x）圖象上每點(diǎn)切線的斜率＞3恒成立，
故f′（x）＞3恒成立，
又已知f(x)=alnx+

1

2

x2(a＞0)，定義域?yàn)椋?，+∞）
求導(dǎo)數(shù)可得f′(x)=

a

x

+x，故

a

x

+x＞3恒成立，
所以a＞x（3-x）恒成立，只需求x（3-x）的最小值，
而當(dāng)x=

3

2

時(shí)，[x（3-x）]_min=

9

4

，
故答案為：a≥

9

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，涉及恒成立問(wèn)題，屬中檔題．