Question

某工廠要制造A種電子裝置45臺，B種電子裝置55臺，需用薄鋼板給每臺裝置配一個外殼，已知薄鋼板的面積有兩種規格：甲種薄鋼板每張面積2㎡，可做A、B的外殼分別為3個和5個，乙種薄鋼板每張面積3㎡，可做A、B的外殼分別為5個和6個，求兩種薄鋼板各用多少張，才能使總的用料面積最小？

Answer 1

分析：根據已知條件中解：設用甲種薄金屬板x張，乙種薄金屬板y張，則可做A種的外殼分別為3x+5y個，A種的外殼分別為5x+6y個，由題意得出約束條件，及目標函數，然后利用線性規劃，求出最優解．

解答：解：設用甲種薄金屬板x張，乙種薄金屬板y張，總的用料面積為z㎡．
則可做A種的外殼為3x+5y個，B種的外殼為5x+6y個，
由題意得：

3x+5y≥45 5x+6y≥55 x，y∈N

，
所有薄金屬板的總面積為：z=2x+3y
甲、乙兩種薄鋼板張數的取值范圍如圖中陰影部分所示（x，y取整數）．
要使z最小，目標函數表示的直線過點A（

5

7

，

60

7

），由于其不是整數點，
故平移過點A的直線：z=2x+3y，當其經過平面區域內的點（2，8）時，
這時面積為28㎡，此時直線同時也經過點（5，6）．
因此用甲、乙兩種薄鋼板的張數分別為2張、8張或者5張、6張，才能使總的用料面積最小．

點評：本題考查的知識點是簡單的線性規劃的應用，在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數Z與直線截距之間的關系⇒④使用平移直線法求出最優解⇒⑤還原到現實問題中．