Question

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的焦距為，且橢圓C過點A（1， ），

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）若O是坐標原點，不經過原點的直線L：y=kx+m與橢圓交于兩不同點P（x1，y1），Q（x2，y2），且y1y2=k2x1x2，求直線L的斜率k；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求△OPQ面積的最大值．

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）斜率為或﹣；（Ⅲ）1.

【解析】試題分析：(1)由橢圓的焦距為,且橢圓C過點A（1， ）,列出方程求出a,b,由此能求出橢圓C的方程．

(2)由,得: （1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0,由此利用根的判別式、韋達定理,結合已知條件能求出直線l的斜率．

(3)把直線方程與橢圓方程聯立,得: x2+2mx+2m2﹣2=0，,由此利用根的判別式、韋達定理、點到直線距離公式、弦長公式能求出△OPQ 面積的最大值.

試題解析：

（Ⅰ）∵橢圓C： 的焦距為，且橢圓C過點，

∴由題意得，可設橢圓方程為，

則，得，

所以橢圓C的方程為．

（Ⅱ）由消去y得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0，

△=64k2m2﹣16（1+4k2）（m2﹣1）=16（4k2﹣m2+1）＞0，

，

故.

又∵，∴，∴．

∵m≠0，∴，解得，

∴直線L的斜率為或﹣．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直線L的方程為

由對稱性，不妨把直線方程與橢圓方程聯立，消去y得：2x2+4mx+4m2﹣4=0，△=64m2﹣4（4m2﹣4）＞0，∵P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=﹣2m， ，

設d為點O到直線l的距離，則，

當且僅當m2=1時，等號成立．∴△OPQ面積的最大值為1．