Question

已知二次函數f（x）=-4^x+2a•2^x+1-a在區間[0，1]有最大值2，求實數a的值．

Answer 1

分析：令2^x=t，則 y=-t²+2at+1-a，t∈[1，2]，分a＜1、a＞2、1≤a≤2三種情況，利用二次函數的性質根據函數在區間[0，1]有最大值2，求得實數a的值．

解答：解：令2^x=t，則4^x=t²，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]，…（2分）
∴y=-t²+2at+1-a，t∈[1，2]．
由于函數y的對稱軸為：t=a，…（3分）
當a＜1時，y在[1，2]上遞減，∴y_max=2，即 a=2．（舍去）  …（6分）
當a＞2時，y在[1，2]上遞增，∴y_max=2，即a=

5

3

．（舍去）    …（9分）
當1≤a≤2時，y在[1，a]遞增，在[a，2]上遞減，∴y_max=2，即a²-a+1=2，解得：a=

1± 5

2

．
∵1≤a≤2，∴a=

1- 5

2

（舍去）；∴a=

1+ 5

2

．
綜上：a的值為a=

1+ 5

2

．…（12分）

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．