Question

【題目】已知函數 ． （Ⅰ）當m=8時，求f（﹣4）的值；
（Ⅱ）當m=8且x∈[﹣8，8]時，求|f（x）|的最大值；
（Ⅲ）對任意的實數m∈[0，2]，都存在一個最大的正數K（m），使得當x∈[0，K（m）]時，不等式|f（x）|≤2恒成立，求K（m）的最大值以及此時相應的m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） 當m=8時，f（﹣4）=f（﹣2）=f（0）=77 （Ⅱ）函數 ．
0≤x≤8時，函數f（x）= ．
f（x）=x2﹣8x+7，當x=4時，函數取得最小值﹣9，x=0或x=8時函數取得最大值：7，
f（x）∈[﹣9，7]7
﹣8≤x＜0時，f（x）=f（x+2），如圖函數圖象，f（x）∈（﹣5，7]7
所以x∈[﹣8，8]時，|f（x）|max=97
（能清晰的畫出圖象說明|f（x）|的最大值為9，也給3分）

（Ⅲ） ①當m=0時，f（x）=x2﹣1（x≥0），要使得|f（x）|≤2，
只需x2﹣1≤2，得 ，即 ，此時m=07
②當0＜m≤2時，對稱軸 ，要使得|f（x）|≤2，
首先觀察f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）與y=﹣2的位置關系，
由x2﹣mx+m﹣1≥﹣2對于0＜m≤2恒成立，7
故K（m）的值為x2﹣mx+m﹣1=2的較大根x2 ，
解得 7
又 =
= 1
故 ，
則顯然K（m）在m∈（0，2]上為增函數，
所以
由①②可知，K（m）的最大值為 ，此時m=2
【解析】（Ⅰ）通過m=8時，直接利用分段函數求f（﹣4）的值；（Ⅱ）當m=8且x∈[﹣8，8]時，畫出函數的圖象，利用二次函數以及周期函數，轉化求解函數|f（x）|的最大值；（Ⅲ） ①當m=0時，f（x）=x2﹣1（x≥0），轉化求解即可，②當0＜m≤2時，求出對稱軸，要使得|f（x）|≤2，判斷f（x）=x2﹣mx+m﹣1（x≥0）與y=﹣2的位置關系， 通過比較根的大小，利用函數的單調性求解即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值才能正確解答此題．