Question

【題目】已知動圓過定點且與定直線相切，動圓圓心的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）已知斜率為的直線交軸于點，且與曲線相切于點，設的中點為（其中為坐標原點）.求證：直線的斜率為0.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

(Ⅰ)利用題意結合拋物線的定義可知點的軌跡是以為焦點的拋物線，其軌跡方程為.

(Ⅱ)設直線，聯立直線方程與拋物線方程可得，結合判別式為0可得，據此可得聯立的方程即，解得，結合中點坐標公式有，據此可得直線的斜率為0.

試題解析：

（Ⅰ）根據題意，點的軌跡是以為焦點的拋物線，

故曲線的方程為.

（Ⅱ）設直線，聯立得（*）

由，解得，

則直線，得，

此時，（*）化為，解得，

所以，即，又為的中點，故，

所以，即直線的斜率為0.