Question

【題目】給出集合.

（1）若，求證：函數；

（2）由（1）分析可知， 是周期函數且是奇函數，于是張三同學得出兩個命

題：命題甲：集合中的元素都是周期函數.命題乙：集合中的元素都是奇函數. 請對此

給出判斷，如果正確，請證明；如果不正確，請舉反例；

（3）若，數列滿足： ，且 ，數列的前項

和為，試問是否存在實數、，使得任意的，都有成立，若

存在，求出、的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）命題甲正確（3）

【解析】試題分析：

(1)原問題即，結合兩角和差正余弦公式整理變形即可證得題中的結論；

(2)由題意可得：命題甲正確. 集合中的元素都是周期為6的周期函數.命題乙不正確.如是奇函數； 不是奇函數.

(3)由題意可得，假設存在實數滿足題設，據此計算可得，即數列是周期為的周期數列，且前6項依次為，據此可知，則滿足題意時只需即可.

試題解析：

（1）轉化證明

左邊

右邊

（2）命題甲正確. 集合中的元素都是周期為6的周期函數.

驗證即可

命題乙不正確.集合中的元素不都是奇函數.

如是奇函數； 不是奇函數.

（3） ，則

假設存在實數滿足題設，則

所以數列是周期為的周期數列，且前6項依次為

當， 時，

當 時，

當 時，

當 時，

綜上

要使對任意的，都有恒成立，

只要即可.