Question

【題目】已知函數.

（1）過原點作函數圖象的切線，求切點的橫坐標；

（2）對，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）.

【解析】試題分析：（1）設切點坐標，利用導數幾何意義以及切點在切線上，也在曲線上列方程組，解得切點的橫坐標；(2)不等式恒成立問題往往轉化為對應函數最值問題： 對， 恒成立等價于的最小值不小于零，根據導函數符號變化規律，分類討論函數單調性，進而得函數最值，驗證是否滿足條件，確定實數的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）設切點為 ，直線的切線方程為

， ，

即直線的切線方程為

又切線過原點,所以，

由 ，解得 ，所以切點的橫坐標為 .

（Ⅱ）方法一：∵不等式對， 恒成立,

∴對， 恒成立.

設， ， ， .

①當時， ， 在， 上單調遞減，

即， 不符合題意.

②當時， .設，

在， 上單調遞增，即.

（ⅰ）當時，由，得， 在， 上單調遞增，即， 符合題意；

（ii）當時， ， ， 使得，

則在， 上單調遞減，在， 上單調遞增，

，則不合題意.

綜上所述， .

（Ⅱ）方法二：∵不等式對， 恒成立,

∴對， 恒成立.

當時， ；當時， ，

不恒成立；同理取其他值不恒成立.

當時， 恒成立；

當時， ，證明恒成立.

設， ， ，

.∴在， 為減函數．

，∴.

（Ⅱ）方法三：∵不等式對，恒成立,

∴等價于對， 恒成立.

設，當時， ；∴，

函數過點（0,0）和（1,0），函數過點（1.0），在恒成立，

一定存在一條過點（1,0）的直線和函數、都相切或，一定存在一條過點（1,0）的直線相切和函數相交，但交點橫坐標小于1，

當都相切時．

不大于等于0.

∴.