Question

【題目】如下圖，已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為， ，且的周長(zhǎng)為14.

（I）求橢圓的離心率；

（II）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于不同兩點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上．設(shè)，試判斷點(diǎn)是否在一條定直線上，并求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)條件計(jì)算得的值，進(jìn)而可求離心率；

（Ⅱ）設(shè)l的方程為，與橢圓聯(lián)立得， ，根據(jù)條件，化簡(jiǎn)得，帶入條件可得，由即可求得的范圍.

試題解析：

（I）由，得，

的周長(zhǎng)為，即，得，

所以，橢圓的離心率為；

（II）顯然直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為，

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，

由，得，化簡(jiǎn)得①，-----6分

由消去x，得，

得， ，

代入①式得，由得，

，

因?yàn)?/span>，得，所以，

因此，N在一條直線上，實(shí)數(shù)．

【法二：顯然直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為，不妨設(shè)，

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)， ，

由，得，化簡(jiǎn)得①，6分

由， ，得②，

由消去x，得，

可知 ，

得， ， ，

代入①式得，由得，

由②式得 ，得，

因此，N在一條直線上，實(shí)數(shù)．

法三：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)， ，由，

得

所以,將， 代入橢圓方程得

上面兩式相減化簡(jiǎn)得

，

因?yàn)?/span>，得，所以，

因此，N在一條直線上，實(shí)數(shù)．