Question

在不等邊△ABC中，設A、B、C所對的邊分別為a，b，c，已知sin²A，sin²B，sin²C依次成等差數列，給定數列

cosA

a

，

cosB

b

，

cosC

c

．
（1）試根據下列選項作出判斷，并在括號內填上你認為是正確選項的代號

B

．
A．是等比數列而不是等差數列　　B．是等差數列而不是等比數列
C．既是等比數列也是等差數列　　D．既非等比數列也非等差數列
（2）證明你的判斷．

Answer 1

分析：（1）因為sin²A、sin³B、sin²C成等差數列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，所以2b²=a²+c²．結合斜弦定理，從而得出正確選項即可；
（2）根據條件sin²A、sin³B、sin²C成等差數列，利用正弦定理得出三角形邊的關系式，又結合余弦定理化簡

cosB

b

=

a2+c2-b2

2abc

，

cosA

a

=

b2+c2-a2

2abc

，

cosC

c

=

a2+b2-c2

2abc

．從而得出即

cosA

a

、

cosB

b

、

cosC

c

成等差數列．下面利用反證法證明不是等比數列，先假設其為等比數列，經過推理得出與題設矛盾．

解答：解：（1）因為sin²A、sin³B、sin²C成等差數列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，
所以2b²=a²+c²．
故選：B．
（2）因為sin²A、sin³B、sin²C成等差數列，所以2sin²B=sin²A+sin²C，
所以2b²=a²+c²．又

cosB

b

=

a2+c2-b2

2abc

，

cosA

a

=

b2+c2-a2

2abc

，

cosC

c

=

a2+b2-c2

2abc

．
顯然

2cosB

b

=

cosA

a

+

cosC

c

，
即

cosA

a

、

cosB

b

、

cosC

c

成等差數列．
若其為等比數列，有

cosA

a

=

cosB

b

=

cosC

c

，
所以tanA=tanB=tanC，A=B=C，與題設矛盾．

點評：本小題主要考查正弦定理、余弦定理的應用、數列與三角函數的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查反證明法思想．屬于基礎題．