Question

在數列中，a₁＝2，a_n＋1＝4a_n－3n＋1，n∈N^*.
(1)證明數列是等比數列；
(2)求數列的前n項和S_n；
(3)證明不等式S_n＋1≤4S_n，對任意n∈N^*皆成立

Answer 1

(1)證明：由題設a_n＋1＝4a_n－3n＋1，得
a_n＋1－(n＋1)＝4(a_n－n)，n∈N_＋.
又a₁－1＝1，所以數列是首項為1，且公比為4的等比數列．
(2)由(1)可知a_n－n＝4^n－1，于是數列的通項公式為
a_n＝4^n－1＋n.
所以數列的前n項和S_n＝＋.
(3)證明：對任意的n∈N_＋，
S_n＋1－4S_n
＝＋－4
＝－(3n²＋n－4)≤0.
所以不等式S_n＋1≤4S_n，對任意n∈N_＋皆成立  

略