Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求證數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，并求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n的表達(dá)式；
（Ⅲ）對(duì)任意n∈N⁺，試比較  與 S_n的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1和S_n+1=2a_n+1-1相減得a_n+1=2a_n+1-2a_n，所以 ，由此可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）首先求出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和為T_n=1•2+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1，再寫出2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，兩式相減即可求出T_n的表達(dá)式，
（Ⅲ）首先求出S_n，然后討論當(dāng)n=1、n=2和n≥3時(shí)，比較 -S_n的值的正負(fù)．
解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，二式相減得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴，∴數(shù)列{a_n}是公比為2的等比數(shù)列，（3分）
又∵S₁=2a₁-1，∴a₁=1，∴a_n=2^n-1．（5分）
（Ⅱ）∵na_n=n2^n-1，
∴T_n=1•2+2•2¹+3•2²+…+（n-1）•2^n-2+n•2^n-1①
2T_n=1•2+2•2²+…+（n-2）•2^n-2+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，②（7分）
①-②得-T_n=1+2+4+…+2^n-2+2^n-1-n•2ⁿ=，
∴T_n=n2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）2ⁿ+1．（9分）
（Ⅲ）∵，
∴，（11分）
∴當(dāng)n=1時(shí)，-S₁=-＜0，當(dāng)n=2時(shí)，-S₂=-＜0，；
當(dāng)n≥3時(shí)，-S_n＞0．（13分）
綜上，當(dāng)n=1或n=2時(shí)，；當(dāng)n≥3時(shí)，．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的求和與等比關(guān)系的確定，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)，并熟練掌握數(shù)列的求和公式，本題難度不是很大．