Question

【題目】如圖，設橢圓（a＞2）的離心率為，斜率為k（k＞0）的直線L過點E（0，1）且與橢圓交于C，D兩點．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若直線l與x軸相交于點G，且，求k的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】

（Ⅰ）由橢圓的離心率公式和a，b，c的關系，解方程可得a，進而得到橢圓方程；

（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+1，求得G的坐標，設C（x1，y1），D（x2，y2），將直線方程代入橢圓方程，可得關于x的一元二次方程，運用根與系數關系和向量相等，可得關于k的方程，即可得到所求值．

（Ⅰ）由題意可得，

解得=，

則橢圓方程為；

（Ⅱ）設直線l的方程為y=kx+1，可得G（﹣，0），

設C（x1，y1），D（x2，y2），

將直線方程代入橢圓方程，

可得（2+3k2）x2+6kx﹣9=0，

△=36k2+36（2+3k2）＞0恒成立，

即有x1+x2=﹣，

則，,

由，可得x1+=0﹣x2，

即有x1+x2+=0，

即﹣+=0，

解得=（負的舍去）．