Question

【題目】已知， ， ．

（1）討論函數的單調性；

（2）記，設， 為函數圖象上的兩點，且．

（ⅰ）當， 時，若在處的切線相互垂直，求證： ；

（ⅱ）若在點處的切線重合，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）時， 在上單調遞減，即時， 在和上都是單調遞減的，在上是單調遞增的；（2）（i）見解析；（ii）．

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，通過討論 的范圍，判斷函數的單調性即可；（2）（i）求出 的解析式，根據基本不等式的性質判斷即可；（ii）求出 的坐標，分別求出曲線在的切線方程，結合函數的單調性確定 的范圍即可.

試題解析：（1），則，

當即時， ， 在上單調遞減，

當時即時， ，

此時在和上都是單調遞減的，在上是單調遞增的；

（2）（i），據題意有，又，

則且， ，

法1： ，

當且僅當即， 時取等號．

法2： ， ，

當且僅當時取等號．

（ii）要在點處的切線重合，首先需要在點處的切線的斜率相等，

而時， ，則必有，即， ，

處的切線方程是：

處的切線方程是： ，即，

據題意則， ，

設， ， ，

在上， ， 在上單調遞增，

則，又在恒成立，

即當時， 的值域是，

故，即為所求．