Question

【題目】設數列的前項和為，且滿足， 為常數．

（1）是否存在數列，使得？若存在，寫出一個滿足要求的數列；若不存在，說明理由．

（2）當時，求證： ．

（3）當時，求證：當時， ．

Answer 1

【答案】（1）不存在，理由見解析 （2）證明見解析 （3）證明見解析

【解析】試題分析：

（1），得到，檢驗可知不存在滿足要求的數列；（2）利用，得到，化簡可得結論；（3）利用放縮法及函數的應用，證明不等式。

試題解析：

（1）若，則，即，即，

則，所以不存在數列使得．

（2）由得，

當時， ，兩式相減得，

即， ， ， ，

當時， ，即，綜上， ．

（3）證1：由得，

當時， ，兩式相減得，

解得，所以當時， ，

因為，

又由可見，所以；

另一方面， ，故．

證2：由得， ，

所以當時， ，下同證1.