Question

【題目】如圖，已知A，B兩鎮分別位于東西湖岸MN的A處和湖中小島的B處，點C在A的正西方向1 km處，tan∠BAN＝，∠BCN＝，.現計劃鋪設一條電纜連通A，B兩鎮，有兩種鋪設方案：①沿線段AB在水下鋪設；②在湖岸MN上選一點P，先沿線段AP在地下鋪設，再沿線段PB在水下鋪設，預算地下、水下的電纜鋪設費用分別為2萬元km、4萬元km.

（1）求A，B兩鎮間的距離；

（2）應該如何鋪設，使總鋪設費用最低？

Answer 1

【答案】（1）5km（2）點P選在A鎮的正西方向(4－) km處，總鋪設費用最低

【解析】

（1）過B作MN的垂線，垂足為D，在Rt△ABD和Rt△BCD中利用正切的定義表示AD，CD，借助AC＝AD－CD構建方程，求得BD，AD，進而由勾股定理，得答案；

（2）方案①總費用等于單價乘以長度；方案②：設∠BPD＝θ，在Rt△BDP中利用正弦函數和正切函數的定義用θ表示BP,AP長度，進而構建總鋪設費用的函數，利用導數分析該函數的單調性，得此方案的最小值；最后比較方案①和方案②的費用，確定答案.

（1） 如圖，過B作MN的垂線，垂足為D.

在Rt△ABD中，tan∠BAD＝tan∠BAN＝＝，

所以AD＝BD.

在Rt△BCD中，tan∠BCD＝tan∠BCN＝＝1，

所以CD＝BD.

則AC＝AD－CD＝BD－BD＝BD＝1，

所以BD＝3，則CD＝3，AD＝4.

由勾股定理得，AB＝＝5(km)．

所以A，B兩鎮間的距離為5km

（2） 方案①：沿線段AB在水下鋪設時，總鋪設費用為5×4＝20(萬元)

方案②：設∠BPD＝θ，則θ∈，其中θ0＝∠BAN.

在Rt△BDP中，DP＝，BP＝，

所以AP＝4－DP＝4－.

則總鋪設費用為2AP＋4BP＝8－

設f(θ)＝，則f′(θ)＝，

令f′(θ)＝0，得即θ＝，列表如下：

θ
f′(θ)	－	0	＋
f(θ)	單調遞減	極小值	單調遞增

所以f(θ)的最小值為.

所以方案②的總鋪設費用最低為 (萬元)，此時AP＝4－.

而，所以應選擇方案②進行鋪設，點P選在A鎮的正西方向(4－) km處，總鋪設費用最低．