Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，經過點(3，-

5

)的直線l與向量（-2，

5

）平行且通過橢圓C的右焦點F，交橢圓C于A、B兩點，又

AF

=2

FB

．
（1）求直線l的方程；
（2）求橢圓C的方程．

Answer 1

分析：（1）由方向向量和定點寫出直線方程．
（2）設A為（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據題中的向量式

AF

=2

FB

，得到坐標y₁，y₂的關系，再由直線和橢圓聯立的方程組中，得到y₁+y₂，y₁•y₂的關系，再建立等式，求解．

解答：解：（1）直線l過點(3，-

5

)且與向量（-2，

5

）平行
則l方程為：

x-3

-2

=

y+ 5

5

化簡為：y=-

5

2

（x-1）
（2）設直線y=-

5

2

（x-1）與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1
交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

AF

=-2

BF

，求得y₁=-2y₂
將x=-

2

5

y+1代入b²x²+a²y²=a²b²中
整理得(

4

5

b2+a2)y2-

4

5

b2y+b2(1-a2)=0
由韋達定理可知：

y1+y2= 4 5 b2 4 5 b2+a2 =-y2 ① y1•y2= b2(1-a2) 4 5 b2+a2 =-2 y 2 2 ②

由①²/②知32b²=（4b²+5a²）（a²-1）
又a²-b²=1，故可求得

a2=4 b2=3

，
因此所求橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．

點評：“設而不求”是解析幾何的常用方法，聯立方程組，得兩根之和，兩根之積的關系．韋達定理也是二次方程的常用性質．