Question

【題目】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，.

（1）求f(x)的解析式；

（2）設(shè)x∈[1,2]時(shí)，函數(shù)，是否存在實(shí)數(shù)m使得g(x)的最小值為6，若存在，求m的取值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）.

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)計(jì)算，利用奇偶性即可求解函數(shù)解析式；

（2）通過換元，問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)h (t)在[2， 4]上的最小值為6，再通過分類討論得出結(jié)論.

（1）設(shè)，則，

由當(dāng)x>0時(shí)，可知，，

又f（x）為R上的奇函數(shù)，

于是，

故當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)，由知，

綜上知

（2）由（1）知，x∈[1,2]時(shí)，

，

令，，

函數(shù)g(x)的最小值為6，即在上的最小值為6，

①當(dāng)，即m＞﹣5時(shí)，函數(shù)h（t）在[2，4]上為增函數(shù)，

于是h（t）min＝h（2）＝6，此時(shí)存在滿足條件的實(shí)數(shù)m＞﹣5；

②當(dāng)，即﹣9≤m≤﹣5時(shí)，，解得，此時(shí)滿足條件；

③當(dāng)，即m＜﹣9時(shí)，函數(shù)h（t）在[2，4]上為減函數(shù)，

于是h（t）min＝h（4）＝2m+20＝6，解得，此時(shí)不存在滿足條件的實(shí)數(shù)m；

綜上，存在使得函數(shù)g（x）的最小值為6．