Question

如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，D，E，F(xiàn)分別在三邊AB，BC和CA上，且D為AB的中點(diǎn)，，，.
（1）當(dāng)時(shí)，求的大小；
（2）求的面積S的最小值及使得S取最小值時(shí)的值.

Answer 1

（1）θ＝60°；（2）當(dāng)θ＝45°時(shí)，S取最小值.

試題分析：本題主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定義、兩角和的正弦公式、倍角公式、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力、轉(zhuǎn)化能力、計(jì)算能力.第一問，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用兩角和的正弦公式展開，解出，利用特殊角的三角函數(shù)值求角；第二問，將第一問得到的DF和DE代入到三角形面積公式中，利用兩角和的正弦公式和倍角公式化簡(jiǎn)表達(dá)式，利用正弦函數(shù)的有界性確定S的最小值.
在△BDE中，由正弦定理得，
在△ADF中，由正弦定理得．   4分
由tan∠DEF＝，得，整理得，
所以θ＝60°．             6分
（2）S＝DE·DF＝
．  10分
當(dāng)θ＝45°時(shí)，S取最小值．     12分