Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓：，，，為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若以線段為直徑的圓與圓相切．

（1）證明為定值，并寫出點(diǎn)的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，直線過交于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析，軌跡方程為．(2).

【解析】分析：第一問結(jié)合題中條件畫出相應(yīng)的圖形，連接相關(guān)線段，利用中位線的長(zhǎng)度以及兩圓內(nèi)切時(shí)對(duì)應(yīng)兩圓心之間的距離與半徑的關(guān)系，求得，從而得到其為定值，之后借助于其范圍，利用橢圓的定義，求得其軌跡方程；第二問分直線的斜率不存在、為零、存在且不為零三種情況來分析對(duì)應(yīng)的四邊形的面積，從而求得其范圍.

詳解：（1）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，

在中，，分別為，的中點(diǎn)，所以，

又圓與動(dòng)圓相切，則，所以，即為定值，

，

所以點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓，

設(shè)橢圓方程為，則，，，

所以點(diǎn)的軌跡方程為．

（2）①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)，，，，則，，四邊形面積；

②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，同理可得四邊形面積；

③當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，

可設(shè)直線的方程為，設(shè)，，

聯(lián)立得，

，，

，

同理，

四邊形面積，設(shè)，

則，

所以；

綜上所述，四邊形面積的取值范圍是．