Question

【題目】已知正項數列的前項和為，且，等比數列的首項為1，公比為（），且，，成等差數列．

（1）求的通項公式；

（2）求數列的前項和．

Answer 1

【答案】(1)；(2).

【解析】分析：第一問首先將代入題中所給的式子，求得，之后類比著寫出時對應的式子，兩式相減求得，從而確定出數列是首項為3，公差為2的等差數列，進一步求得其通項公式；第二問利用題中條件求得其公比，借助其首項，利用等比數列求得其通項公式，之后觀察是由一個等差數列和一個等比數列對應項積所構成的新數列，利用錯位相減法求和即可.

詳解：（1）當時，，

即，

因為，所以，

當時，，

即，

因為，所以，

所以數列是首項為3，公差為2的等差數列，

所以．

（2）因為數列首項為1，公比為的等比數列，，，成等差數列，

所以，即，所以，

又因為，所以，

所以，則，

，①

則，②

由①②得 ，

所以．