Question

某幾何體的一條棱長為

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，在該幾何體的正視圖中，這條棱的投影是長為

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的線段，在該幾何體的側視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a和b的線段，求a+b的最大值．

Answer 1

分析：如圖，把已知幾何體長為

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的棱看做某一個長方體的對角線，設長方體的對角線A₁C=

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，則它的正視圖的投影長為D1C=

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，側視圖的投影長為B₁C=a，俯視圖投影長為A₁C=b，由長方體的對角線與三條面對角線的關系，即可得到a、b滿足的關系式，進而利用基本不等式的性質即可求出答案．

解答：解：如圖，把已知幾何體長為

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的棱看做某一個長方體的對角線，設長方體的對角線A₁C=

7

，則它的正視圖的投影長為D1C=

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，側視圖的投影長為B₁C=a，俯視圖投影長為A₁C₁=b，
則a2+b2+(

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)2=2×(

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)2，即a²+b²=8．
∵a²+b²≥2ab，∴2（a²+b²）≥（a+b）²，∴

a+b

2

≤

a2+b2 2

=2，當且僅當“a=b=2”時取等號．
∴a+b≤4，即a+b的最大值為4．

點評：把已知長為

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的棱看做某一長方體的對角線是解決問題的關鍵．