Question

如圖，在C城周邊已有兩條公路l₁，l₂在點O處交匯，現規劃在公路l₁，l₂上分別選擇A，B兩處為交匯點（異于點O）直接修建一條公路通過C城，已知OC=，∠AOB=75°，∠AOC=45°，設OA=xkm，OB=ykm．
（1）求y關于x的函數關系式并指出它的定義域；
（2）試確定點A、B的位置，使△OAB的面積最小．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據△AOC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，可得．
（2）根據△OAB的面積，化簡為[（x-2）++4]，再利用基本不等式求出
它的最小值．
解答：（1）因為△AOC的面積與△BOC的面積之和等于△AOB的面積，
所以，…（4分）
即，所以，，它的定義域為（2，+∞）．…（6分）
（2）△OAB的面積=•   …（8分）
=•=[（x+2）+]=[（x-2）++4]
≥•（2+4）=4（+1）．    …（12分）
當且僅當x=4時取等號，此時．
故當OA=4km，時，△OAB面積的最小值為．  …（14分）
點評：本題主要考查求函數的解析式和定義域，基本不等式的應用，屬于基礎題．