Question

如圖，棱長為1的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N分別為AB、BC的中點．
（1）當點P在DD₁上運動時，是否都有MN∥平面A₁C₁P？證明你的結論；
（2）當點P在何位置時，二面角P-MN-B₁ 為直二面角；
（3）按圖中示例，在給出的方格紙中，用事先再畫出此正方體的4個形狀不同的表面展開圖，且每個展開提均滿足條件“有四個正方形連成一個長方形”．（如果多畫，則按前4個記分）

Answer 1

【答案】分析：（1）當點P在DD₁上移動時，都有MN∥平面A₁C₁P．由線面平行的判定定理證明即可
（2）設DP=t，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能夠推導出當時，二面角P-MN-B₁ 為直二面角．
（3）由正方體12種展開圖，選其中“1-4-1”的情況即可．
解答：解：（1）當點P在DD₁上移動時，都有MN∥平面A₁C₁P   …（1分）
證明如下：
在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=CC₁，AA₁∥CC₁
∴四邊形AA₁C₁C是平行四邊形，
∴AC∥A₁C₁
由（1）知MN∥AC，
∴MN∥A₁C₁
又∵MN?面A₁C₁P，A₁C₁?平面A₁C₁P，
∴MN∥平面A₁C₁P，…（4分）
（2）設DP=t，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
則M（1，，0），N（，1，0），B₁（1，1，1），P（0，0，t），
∴=（-，，0），=（0，，1），=（-1，-，t），
設平面MNB₁的法向量為=（x，y，z），則，=0，
∴，解得=（2，2，-1）．
設平面MNP的法向量為，則，，
∴，解得=（1，1，），
∵二面角P-MN-B₁ 為直二面角，
∴=2+2-=0，解得t=．
故當時，二面角P-MN-B₁ 為直二面角．…（9分）
（3）符合條件的表面展開圖還有5個，如圖，正確畫出一個得（1分）…（13分）

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，推理論證能力，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．