Question

已知函數，其中.
（1）若對一切恒成立，求的取值范圍；
（2）在函數的圖像上取定兩點，記直線 的斜率為，證明:存在，使成立.

Answer 1

（1）
（2）由題意可得
令則
令。

試題分析：（1），令
當時單調遞減；當時，單調遞增
∴當時， 有最小值
于是對于一切,恒成立，當且僅當    ①
令，則
當時，取最大值1，當且僅當時，①式成立
綜上所述的取值的集合為
（2）由題意可得
令則


令
當時單調遞減；當時，單調遞增。故當時，
即，，又，
所以
所以存在，使
點評：典型題，在給定區間，導數非負，函數為增函數，導數非正，函數為減函數。求函數的極值問題，基本步驟是“求導數、求駐點、研究單調性、求極值”。“恒成立問題”往往通過構造函數，研究函數的最值，使問題得到解答。