Question

設{a_n}是正數組成的數列，前n項和為S_n且an=2

2Sn

-2；
（Ⅰ）寫出數列{a_n}的前三項；
（Ⅱ）求數列{a_n}的通項公式，并寫出推證過程；
（Ⅲ）令bn=

4

an•an+1

，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）把n=1，2，3分別代入遞推公式中可求
（II）由已知可得8S_n=a_n²+4a_n+4，8S_n+1=a_n+1²+4a_n+1+4，兩式相減結合a_n+1+a_n＞0可得a_n+1-a_n=4，利用等差數列的通項公式可求
（ III）由（II）可得bn=

4

an•an+1

=

4

(4n-2)(4n+2)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用裂項求和

解答：解：（Ⅰ）∵an=2

2Sn

-2
n=1時可得，a1=2

2s1

-2∴a₁=2
把n=2代入可得a₂=6，n=3代入可得a₃=10；
（Ⅱ）8S_n=a_n²+4a_n+4…（1）
8S_n+1=a_n+1²+4a_n+1+4…（2）
（2）-（1）得8a_n+1=a_n+1²-a_n²+4a_n+1-4a_n
（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-4）=0
∵a_n+1+a_n＞0
∴a_n+1-a_n-4=0
a_n+1-a_n=4
∴{a_n}是以2為首項，4為公差的等差數列．a_n=a₁+（n-1）d=4n-2
（ III）bn=

4

an•an+1

=

4

(4n-2)(4n+2)

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

點評：本題主要考查了利用遞推公式求解數列中的項及構造求解數列的通項公式，要注意裂項求和在解決本題中的應用時，裂項時容易漏

1

2

．