Question

設{a_n}是正數組成的數列，其前n項和為S_n，且對于所有的正整數n，有4S_n=（a_n+1）²．
（I）求a₁，a₂的值；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）令b₁=1，b_2k=a_2k-1+（-1）^k，b_2k+1=a_2k+3^k（k=1，2，3，…），求{b_n}的前20項和T₂₀．

Answer 1

分析：（I）求a₁，a₂的值，對n賦值即可算得；
（II）求數列{a_n}的通項公式，需對題目中條件4S_n=（a_n+1）²，對任意非負正整數恒成立進行理解，并依據其形式來構造出4S_n-1=（a_n-1+1）²，作差整理出a_n-a_n-1=2判斷出數列是等差數列來．
（III）的求解應根據題設中的條件將前20項的和T₂₀．表示出來，然后再根據具體的形式來求解．

解答：解：（I）當n=1時，4a₁=（a₁+1）²
∴（a₁-1）²=0，a₁=1
當n=2時，4（a₁+a₂）=（a₂+1）²，
∴a₂=3．（3分）
（II）∵4S_n=（a_n+1）²，4S_n-1=（a_n-1+1）²，相減得：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
∵{a_n}是正數組成的數列
∴a_n-a_n-1=2，∴a_n=2n-1．（8分）
（Ⅲ）T₂₀=b₁+[a₁+（-1）¹]+（a₂+3¹）+[a₃+（-1）²]+（a₄+3²）+…+[a₁₉+（-1）¹⁰]
=1+S₁₉+（3+3²+…+3⁹）=1+192+

3(1-39)

1-3

=

310+721

2

．（14分）

點評：本題是一個層層推進式的題，其中第II問構造出另一個恒等式是難點，III的求解需根據具體形式來分組分別求解．