Question

長為l（l＜1）的線段AB的兩個端點在拋物線y²=x上滑動，則線段AB中點M到y軸距離的最小值是（　　）

• A．

  l

  2

• B．

  l2

  2

• C．

  l

  4

• D．

  l2

  4

Answer 1

分析：設線段AB的兩個端點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將兩點分別代入拋物線解析式得到y₁²=x₁，y₂²=x₂，由A和B的位置得到y₁y₂＜0，聯立兩等式表示出y₁y₂，再由拋物線開口向右，得到線段AB中點M到y軸距離，即為M的橫坐標，利用線段中點坐標公式表示出M的橫坐標，利用基本不等式求出橫坐標的最小值，以及此時x₁=x₂，再由線段AB的長為l，由兩點的坐標，利用兩點間的距離公式列出關系式，將x₁=x₂代入，利用完全平方公式展開后，將y₁²=x₁，y₂²=x₂及表示出的y₁y₂代入，表示出x₁+x₂，代入M的橫坐標中，即可表示出線段AB中點M到y軸距離的最小值．

解答：解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將A和B分別代入拋物線y²=x得：y₁²=x₁，y₂²=x₂，
又y₁y₂＜0，
∴x₁x₂=（y₁y₂）²，即y₁y₂=-

x1x2

，
∵拋物線y²=x開口向右，
∴線段AB中點M到y軸的距離為

x1+x2

2

，
由x₁+x₂≥2

x1x2

，得到當且僅當x₁=x₂時，

x1+x2

2

取得最小值，
∴此時x₁+x₂=2

x1x2

，又線段AB的長為l，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²=（y₁-y₂）²=l²，
即y₁²+y₂²-2y₁y₂=x₁+x₂+2

x1x2

=2（x₁+x₂）=l²，
∴x₁+x₂=

1

2

l²，
則線段AB中點M到y軸距離的最小值為

x1+x2

2

=

l2

4

．
故選D

點評：此題考查了兩點間的距離公式，拋物線的圖象與性質，線段中點坐標公式，以及基本不等式的運用，利用了整體代入的思想，其技巧性較強，要求學生掌握知識要全面．