Question

（（本小題滿分12分）
如圖，已知兩定點，和定直線：，動點在直線上的射影為，且．

（Ⅰ）求動點的軌跡的方程并畫草圖；
（Ⅱ）是否存在過點的直線，使得直線與曲線相交于， 兩點，且△的面積等于？如果存在，請求出直線的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設，則，
，代入，得
，化簡得，
即得曲線的方程為，
草圖如圖所示．----------5分
（Ⅱ）（i）若直線的斜率不存在時，此時點，點，△的面積等于，不符合；-----6分
（ii）若直線的斜率為時，直線的方程設為
，設，．
聯立，得，則，，則，
所以 ，
點到直線的距離，
所以△的面積等于，解之得：，
故存在直線為．-----12分

略