Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，是棱上的點(diǎn)，，，.

（1）若為的中點(diǎn)，求證：面；

（2）若二面角為，設(shè)，試確定的值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析 （2）

【解析】

（1）連接，交于，連接．證明．利用直線與平面平行的判定定理證明平面．
（2）以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的法向量，平面法向量，利用二面角為，求解的值，得到答案.

（1）證明：連接，交于，連接．
∵且，

四邊形為平行四邊形，且為中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，所以 ．
∵平面，平面.
∴面.

(2) ，為的中點(diǎn)，∴．
∵平面平面，且平面∩平面，
∴ 平面．
∵，

為的中點(diǎn)，∴四邊形為平行四邊形，∴．
∵,∴即

以為原點(diǎn),分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則

則平面的法向量為

設(shè)

設(shè)平面的法向量為

則 即

可取

由二面角為

所以

化簡得：，解得：或（舍）

所以，則

所以.