Question

已知，為其反函數.
（Ⅰ）說明函數與圖象的關系（只寫出結論即可）；
（Ⅱ）證明的圖象恒在的圖象的上方；
（Ⅲ）設直線與、均相切，切點分別為（）、（），且，求證：.

Answer 1

(Ⅰ) 關于直線對稱；(Ⅱ)見解析；(Ⅲ)見解析.

試題分析：(Ⅰ)原函數與其反函數的圖像關于直線對稱；(Ⅱ)先求出反函數的解析式：，引入中間函數.先構造函數，利用函數的單調性與導數的關系，求得函數的最小值是，找到關系；再構造函數，利用函數的單調性與導數的關系，求得函數的最小值是，找到關系.從而證得“的圖象恒在的圖象的上方”；(Ⅲ)先求出以及，根據導數與切線方程的關系，由斜率不變得到，再根據兩點間的斜率公式得到.首先由指數函數的性質可得，那么，然后由得到，解得.
試題解析：（Ⅰ）與的圖象關于直線對稱.    2分
（Ⅱ），設，               4分
令，，
令，解得，
當時，當時；
∴當時，，
∴.                                  6分
令，，
令，解得；
當時，，當時，，
∴當時，，
∴.                             8分
∴的圖象恒在的圖象的上方.            9分
（Ⅲ），，切點的坐標分別為，可得方程組：
 11分
∵，
∴，∴，
∴.                      12分
由②得，，∴，   13分
∵，∴，∴，即，
∴.              14分