Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AB=2BC=2a，E為AB上一點，將B點沿線段EC折起至點P，連接PA、PC、PD，取PD的中點F，若有AF∥平面PEC.
（1）試確定E點位置；
（2）若異面直線PE、CD所成的角為60°，并且PA的長度大于a，
求證：平面PEC⊥平面AECD.

Answer 1

(1) E為AB的中點(2)證明略

（1） E為AB的中點.

證明如下:取PC的中點G，連接GE，GF.
由條件知GF∥CD，EA∥CD，∴GF∥EA.
則G、E、A、F四點共面.
∵AF∥平面PEC，
平面GEAF∩平面PEC=GE，
∴FA∥GE.
則四邊形GEAF為平行四邊形.
∴GF=AE，∵GF=CD，∴EA=CD=BA.
即E為AB的中點.
（2） ∵EA∥CD，PE、CD所成的角為60°，且PA的長度大于a.
∴∠PEA=120°.
∵PE=BE=EA=a，∴PA=a.
取CE的中點M，連接PM，AM，BM，在△AEM中，                 
AM==a.
∵PM=BM=a，∴PM²+AM²=PA².
則∠PMA=90°，PM⊥AM.
∵PM⊥EC，EC∩AM=M，
∴PM⊥平面AECD.
∵PM平面PEC，
∴平面PEC⊥平面AECD.