Question

【題目】我們稱一個非負整數集合（非空）為好集合,若對任意,或者,或者.以下記為的元素個數.

（Ⅰ）給出所有的元素均小于的好集合;（給出結論即可）

（Ⅱ）求出所有滿足的好集合;（同時說明理由）

（Ⅲ）若好集合滿足,求證: 中存在元素,使得中所有元素均為的整數倍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）見解析;.（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據題意得到集合為；（2）設,其中,則由題意: ,故,即，根據題干中的條件限制元素特性，進而找到滿足條件的好集合；（3）通過歸納可得到結果.

解析：

（Ⅰ）.

（Ⅱ）設,其中,則由題意: ,故,即.

考慮,可知,所以或.

若,則考慮,由于,所以,因此.

所以.但此時考慮,但,不滿足題意.

若,此時滿足題意.

所以,其中為相異正整數.

（Ⅲ）記,則.

首先, .設,其中.

分別考慮和其他任一元素,由題意可得也在中.

而,

所以,所以.

對于,考慮,其和大于,故其差.

特別的, ,所以.

由,且,所以,

通過歸納可得: .

所以,此時.得證.