Question

若函數f(x)=

3 + 3 cos2x

2sin( π 2 -x)

-2a sin

x

2

cos(π-

x

2

)(a＞0)的最大值為2．
（1）試確定常數a的值；
（2）若f(α-

π

3

)-4cosα=0，求

cos2α+ 1 2 sin2α

sin2α-cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數的和與差的公式結合輔助角公式將f（x）化簡為：f（x）=

a2+3

sin（x+φ）（其中tanφ=

3

a

），依題意列方程即可求得a的值；
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（2x+

π

3

），結合條件f（α-

π

3

）-4cosα=0可求得tanα的值，從而可求

cos2α+ 1 2 sin2α

sin2α-cos2α

的值．

解答：解：（1）∵f（x）=

3 + 3 cos2x

2sin( π 2 -x)

-2asin

x

2

cos（π-

x

2

）
=

2 3 cos2x

2cosx

+asinx…3分
=

3

cosx+asinx（x≠kπ+

π

2

，k∈Z）…4分
=

a2+3

sin（x+φ）（其中tanφ=

3

a

），…5分
由題意可知

a2+3 =2 a＞0

，解得a=1…7分
（2）由（1）可知，f（x）=2sin（x+

π

3

），
∵f（α-

π

3

）-4cosα=0，
∴2sinα-4cosα=0，…8分
∴tanα=2，…10分
∴

cos2α+ 1 2 sin2α

sin2α-cos2α

=

cos2α+sinαcosα

sin2α-cos2α

=

1+tanα

tan2α-1

=

1+2

22-1

=1…13分

點評：本題考查兩角和與差的三角函數，考查輔助角公式的應用，考查弦函數與切函數的轉化，求得f（x）=2sin（2x+

π

3

）是關鍵，屬于中檔題．