Question

三角形的三內角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c，設向量

m

=（c-a，b-a），

n

=（a+b，c），若

m

∥

n

．
（1）求角B的大小．
（2）求sinA+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用兩向量平行的性質以及兩向量的左邊可求得a，b和c的關系式，代入余弦定理中求得cosB的值，進而求得B．
（2）根據（1）中B，可知A+C=

2π

3

，進而可把sinC轉化成sin（

2π

3

-A），展開后，利用兩角和公式化簡，利用A的范圍來確定sinA+sinC的范圍．

解答：解：（1）∵

m

∥

n

．
∴c（c-a）=（a+b）（b-a），
∴c²-ac=b²-a²，
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

∴B=

π

3

（2）∵A+B+C=π，∴A+C=

2π

3

∴sinA+sinC=sinA+sin（

2π

3

-A）=sinA+

3

2

cosA+

1

2

sinA=

3

sin（A+

π

6

）
∵0＜A＜

2π

3

∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5

6

π
∴

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，
∴

3

2

＜sinA+sinC≤

3

點評：本題主要考查了余弦定理的應用，兩角和公式的化簡求值．考查了學生分析問題的能力和基本運算的能力．