Question

已知向量

a

=（2，2），向量

b

與向量

a

的夾角為

3π

4

，且

a

•

b

=-2，
（1）求向量

b

；
（2）若

t

=（1，0）且

b

⊥

t

，

c

=（cosA，2cos 2

C

2

），其中A、C是△ABC的內角，若三角形的三內角A、B、C依次成等差數列，試求|

b

+

c

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出向量

b

=（x，y），由向量

b

與向量

a

的夾角為

3π

4

及

a

•

b

=-2得到關于x、y的二元方程組，求解后可得向量

b

的坐標；
（2）由三角形的三內角A、B、C依次成等差數列求出角B，再根據

b

⊥

t

確定

b

，運用向量加法的坐標運算求出

b

+

c

，代入模的公式后利用同角三角函數的基本關系式化簡，最后根據角的范圍確定模的范圍．

解答：解：（1）設

b

=（x，y），則2x+2y=-2①
又|

b

|=

a • b

| a |cos 3π 4

=1=

x2+y2

②
聯立解得

x=-1 y=0

或

x=0 y=-1

，
∴

b

=(-1，0)或

b

=(0，-1)；
（2）由三角形的三內角A、B、C依次成等差數列，∴B=

π

3

，
∵

b

⊥

t

，且

t

=(1，0)，∴

b

=(0，-1)．
∴

b

+

c

=(cosA，2cos2

C

2

-1)=(cosA，cosC)，
∴|

b

+

c

|2=cos2A+cos2C=1+

1

2

(cos2A+cos2C)=1-

1

2

sin(2A-

π

6

)，
∵-

π

6

＜2A-

π

6

＜

7π

6

，
∴-

1

2

＜sin(2A-

π

6

)≤1，
∴

2

2

≤|

b

+

c

|＜

5

2

．

點評：本題考查了平面向量數量積的運算，考查了等差中項概念，解答過程中訓練了三角函數的恒等變換，解答此題的關鍵是注意角的范圍，此題是中檔題．