Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）若，證明：；

（2）已知，若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)證明；（2）

【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最大值，由此證得不等式成立.（2）先求得的表達(dá)式，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不相等的實(shí)根來(lái)解決.顯然是方程的根.當(dāng)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得當(dāng)有一個(gè)不為零的零點(diǎn)時(shí)的取值范圍.

證明：（1）當(dāng)時(shí)，，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，也為最大值，

所以最大值為，

所以.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)零點(diǎn)，即關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，

易知0為方程的一個(gè)根，此時(shí).

當(dāng)時(shí)，只需有一個(gè)不為0的零點(diǎn)即可，

當(dāng)時(shí)，，

故為減函數(shù)，

因?yàn)?/span> ，，

故在上僅有1個(gè)零點(diǎn)，且不為0，滿足題意；

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，， ，

，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理可知在上至少有1個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，故在上也有零點(diǎn)，故不合題意.

綜上，.