Question

已知P是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點，則

AP

•(

AB

+

AC

)=

6

．

Answer 1

分析：先設

AB

=

a

，

AC

=

b

，

BP

=t

BC

，然后用

b

和

a

表示出

BC

，再由

AP

=

AB

+

BP

將

AB

=

a

、

BP

=t

BC

代入可用

b

和

a

表示出

AP

，最后根據向量的線性運算和數量積運算可求得

AP

•（

AB

+

AC

）的值，從而可得到答案．

解答：解：設

AB

=

a

，

AC

=

b

，

BP

=t

BC

則

BC

=

AC

-

AB

=

b

-

a

，

a

²=4=

b

²，

a

•

b

=2×2×cos60°=2
∴

AP

=

AB

+

BP

=

a

+t﹙

b

-

a

﹚=﹙1-t﹚

a

+t

b

又∵

AB

+

AC

=

a

+

b

∴

AP

•﹙

AB

+

AC

﹚=[﹙1-t﹚

a

+t

b

]•﹙

a

+

b

﹚=﹙1-t﹚

a

²+[﹙1-t﹚+t]

a

•

b

+t

b

²
=﹙1-t﹚×4+2+t×4=6
故答案為6

點評：本題主要考查向量的數量積運算和向量的線性運算．高考對向量的考查一般不會太難，以基礎題為主，而且經常和三角函數練習起來考查綜合題，平時要多注意這方面的練習．