Question

已知a＞0，函數f（x）=ax-bx²．
（1）當b＞0時，若對任意x∈R都有f（x）≤1，證明a≤2

b

；
（2）當b＞1時，證明：對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件是b-1≤a≤2

b

；
（3）當0＜b≤1時，討論：對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件．

Answer 1

分析：（1）因為對任意x∈R都有f（x）≤1，所以把函數變為頂點形式，且a＞0，b＞0，有當x=

b

2a

時，f（

b

2a

）≤1，化簡即可得證；（2）①先證明必要性：討論絕對值不等式|f（x）|≤1的解集為f（x）≤1或f（x）≥-1，分別得到a的范圍，求出公共解集即可；②證明充分性；由b-1≤a得f（x）≥-1得到f（x）的取值范圍，由a≤2

b

．f（x）≤1，求出公共解集得到f（x）的范圍即可．
（3）先證必要性：f（x）≤1得到a-b≤1即a≤b+1；再證充分性：由a≤b+1得到f（x）≤1，得到|f（x）|≤1的充要條件．

解答：（1）證明：根據題設，對任意x∈R，都有f（x）≤1．
又f（x）=-b（x-

a

2b

）²+

a2

4b

．∴f（

a

2b

）=

a2

4b

≤1，
∵a＞0，b＞0，
∴a≤2

b

．
（2）證明：必要性：對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1?f（x）≥-1．據此可推出f（1）≥-1，即a-b≥-1，∴a≥b-1．
對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1?f（x）≤1，因為b＞1，可得0＜

1

b

＜1，可推出f（

1

b

）≤1，即a•

1

b

-1≤1，∴a≤2

b

，∴b-1≤a≤2

b

．
充分性：因為b＞1，a≥b-1，對任意x∈[0，1]，可以推出ax-bx²≥b（x-x²）-x≥-x≥-1，即ax-bx²≥-1，因為b＞1，a≤2

b

對任意x∈[0，1]，可以推出：ax-bx²≤2

b

x-bx²-b（x-

1

b

）²+1≤1，即ax-bx²≤1，∴-1≤f（x）≤1．
綜上，當b＞1時，對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件是b-1≤a≤2

b

．
（3）解：因為a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈[0，1]有f（x）=ax-bx²≥-b≥-1，即f（x）≥-1；
f（x）≤1?f（1）≤1?a-b≤1，即a≤b+1，
又a≤b+1?f（x）≤（b+1）x-bx²≤1，即f（x）≤1．
所以，當a＞0，0＜b≤1時，對任意x∈[0，1]，|f（x）|≤1的充要條件是a≤b+1．

點評：讓學生理解函數恒成立時滿足的條件，會找一個命題的充分必要條件．