Question

（本小題滿分12分）

如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4，BC=CD=2，AA=2,  E、E分別是棱AD、AA的中點。

（1）設F是棱AB的中點，證明：直線EE//平面FCC；

（2）證明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C。

Answer 1

（1）證明見解析。

（2）證明見解析。

解析:

證明：（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，連接A₁D，C₁F₁，CF₁。

因為AB=4，CD=2，且AB//CD，所以CD//A₁F₁，且CD=A₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D。

又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因為平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC。

（2）連接AC，在直棱柱中，CC₁⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

所以CC₁⊥AC，因為底面ABCD為等腰梯形，AB=4，BC=2，

 F是棱AB的中點，所以CF=CB=BF，△BCF為正三角形，

，△ACF為等腰三角形，且，

所以AC⊥BC，又因為BC與CC₁都在平面BB₁C₁C內且交于點C，

所以AC⊥平面BB₁C₁C，而平面D₁AC，

所以平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C。