Question

已知函數f（x）滿足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，設無窮數列{a_n}滿足a_n+1=f（a_n）．
（1）求函數f（x）的表達式；
（2）若a₁=3，從第幾項起，數列{a_n}中的項滿足a_n＜a_n+1；
（3）若1+

1

m

＜a₁＜

m

m-1

（m為常數且m∈N，m≠1），求最小自然數N，使得當n≥N時，總有0＜a_n＜1成立．

Answer 1

分析：（1）由函數f（x）滿足2axf（x）=2f（x）-1，f（1）=1，我們不得得到參數a的值，進而得到函數的表達式；
（2）要判斷從第幾項起，數列{a_n}中的項滿足a_n＜a_n+1我們關鍵是構造a_n+1-a_n的表達式，結合其它已知條件解對應的不等組，即可求解．
（3）總有0＜a_n＜1成立，則數列的每一項，均符合要求，包括首項在內，由1+

1

m

＜a₁＜

m

m-1

，結合數學歸納法，即可求出滿足條件的自然數N．

解答：解：（1）令x=1得2a=1，∴a=

1

2

．
∴f（x）=

1

2-x

．
（2）若a₁=3，由a₂=

1

2-a1

=-1，a₃=

1

2-a2

=

1

3

，a₄=

1

2-a3

=

3

5

，
假設當n≥3時，0＜a_n＜1，則0＜a_n+1=

1

2-an

＜

1

2-1

=1?2-a_n＞0．
從而a_n+1-a_n=

1

2-an

-a_n=

(1-an)2

2-an

＞0?a_n+1＞a_n．
從第2項起，數列{a_n}滿足a_n＜a_n+1．
（3）當1+

1

m

＜a₁＜

m

m-1

時，a₂=

1

2-a1

，得

m

m-1

＜a₂＜

m-1

m-2

．
同理，

m-1

m-2

＜a₃＜

m-2

m-3

．
假設

m-(n-1)+2

m-(n-1)+1

＜a_n-1＜

m-(n-1)+1

m-(n-1)

．
由a_n=

1

2-an-1

與歸納假設知

m-(n-2)

m-(n-1)

＜a_n＜

m-(n-1)

m-n

對n∈N^*都成立．
當n=m時，

m-(n-2)

m-(n-1)

＜a_m，即a_m＞2．
∴a_m+1=

1

2-am

＜0．
0＜a_m+2=

1

2-am+1

＜

1

2

＜1．
由（2）證明知若0＜a_n＜1，則0＜a_n+1=

1

2-an

＜

1

2-1

=1．
∴N=m+2，使得n≥N時總有0＜a_n＜1成立．

點評：本題（2）中的證明要用到數學歸納法，數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．