Question

【題目】如圖，直角梯形與等腰直角三角形所在的平面互相垂直,.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點，使平面？若存在，求出;若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）點滿足時，有.

【解析】

試題分析：（1）先證明兩兩垂直，通過建立適當的坐標系，向量法求解；（2）通過線的方向向量和平面的法向量垂直證明.

試題解析：取的中點，連，則，因為平面,且,平面,所以,所以,由兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為三角形為等腰直角三角形，所以，設，

所以，所以，平面的一個法向量為.設直線與平面所成角為，所以.即直線與平面所成角的正弦值為.

存在點 ,且時， 有.證明如下：假設上存在點，使得

平面,

連接交于點，連接,則,所以, 由,得，

其他證明方法：由，所以，設平面的一個法向量為，則有，所以，取得，，

因為，且，所以.即點滿足時，有.