Question

【題目】定義在上的函數滿足對于任意實數，都有，且當時，，．

（1）判斷的奇偶性并證明；

（2）判斷的單調性，并求當時，的最大值及最小值；

（3）解關于的不等式.

Answer 1

【答案】（1）奇函數，證明見解析；（2）在上是減函數．最大值為6，最小值為-6； （3）答案不唯一，見解析

【解析】

（1）令，求出，再令，由奇偶性的定義，即可判斷；

（2）任取，則．由已知得，再由奇函數的定義和已知即可判斷單調性，由，得到，，再由單調性即可得到最值；

（3）將原不等式轉化為，再由單調性，即得，即，再對b討論，分，，，，共5種情況分別求出它們的解集即可.

（1）令，則，即有，

再令，得，則，

故為奇函數；

（2）任取，則．由已知得，

則，

∴，∴在上是減函數．

由于，則，，．由在上是減函數，得到當時，的最大值為，最小值為；

（3）不等式，即為.

即，即有，

由于在上是減函數，則，即為，

即有，

當時，得解集為；

當時，即有，

①時，，此時解集為，

②當時，，此時解集為，

當時，即有，

①當時，，此時解集為，

②當時，，此時解集為．