Question

探究函數f（x）=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并確定取得最小值時x的值．列表如下：

x	…	0.5	1	1.5	1.7	1.9	2	2.1	2.2	2.3	3	4	5	7	…
y	…	8.5	5	4.17	4.05	4.005	4	4.005	4.02	4.04	4.3	5	5.8	7.57	…

請觀察表中值y隨x值變化的特點，完成以下的問題．
函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）上遞減；
函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間

（2，0）

上遞增．
當x=

2

時，y_最小=

4

．
證明：函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）遞減．
思考：（直接回答結果，不需證明）
（1）函數f（x）=x+

4

x

（x＜0）有沒有最值？如果有，請說明是最大值還是最小值，以及取相應最值時x的值．
（2）函數f（x）=ax+

b

x

，（a＜0，b＜0）在區間

[-

b a

，0）

 和

（0，

b a

]

上單調遞增．

Answer 1

分析：根據表格給出的數據，通過考查x增大時，y的變化寫出問題中的空格答案．并采用證明單調性的步驟：取值、作差、變形、定號、下結論證明函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）遞減．
（1）根據奇函數圖象對稱性，得出f（x）=x+

4

x

（x＜0）有最值，當x=-2時，y_max=-4，（2）由特殊到一般的推理過程，得出f（x）=ax+

b

x

，（a＜0，b＜0）在區間 ）[-

b a

，0）和（0，

b a

]上單調遞增．

解答：解：（1）函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間  （2，+∞）上遞增．（2分）
當x=2 時，y_最小=4．（4分）
下面證明：函數f（x）=x+

4

x

（x＞0）在區間（0，2）遞減．
證明：設x₁，x₂是區間，（0，2）上的任意兩個數，且x₁＜x₂．…（5分）
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-（x₂+

4

x2

）=x₁-x₂+

4

x1

-

4

x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）=

(x1-x2)(x1x2-4)

x1x2

．（7分）
∵x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0
又∵x₁，x₂∈（0，2），
∴0＜x₁x₂＜4，…（8分）
∴x₁x₂-4＜0，f（x₁）-f（x₂）＞0
∴函數在（0，2）上為減函數．（9分）
答：（1）f（x）=x+

4

x

（x＜0）有最值，當x=-2時，y_max=-4．（11分）
（2）[-

b a

，0）和（0，

b a

]單調遞增．（14分）

點評：本題考查函數單調性的定義、證明．奇函數的性質，是單調性與奇偶性的結合，考查歸納推理、類比、論證能力．